Relációk tulajdonságai

Egy relációt különféle tulajdonságok alapján osztályozhatunk. Ezek segítenek megérteni, hogyan viselkedik a reláció, és milyen típusú matematikai struktúrához tartozik.

Reflexív reláció

Egy reláció reflexív, ha minden elem önmagával kapcsolatban áll.

Magyarul: minden elemhez hozzátartozik saját maga is, tehát például (1,1), (2,2), (3,3) mindig benne van a relációban.

Példa: a „≤” reláció reflexív, mert minden szám kisebb vagy egyenlő önmagával.

Ellenpélda: a „<” reláció nem reflexív, mert nincs szám kisebb önmagánál.

Szimmetrikus reláció

Egy reláció szimmetrikus, ha ha a kapcsolatban áll b-vel, akkor b is a-val.

Magyarul: a kapcsolatok kétirányúak; ha (a,b) benne van, akkor (b,a) is.

Példa: a „testvér” reláció szimmetrikus: ha Anna testvére Béla, akkor Béla is testvére Annának.

Ellenpélda: a „szülője” reláció nem szimmetrikus: ha Anna a Béla szülője, Béla nem Anna szülője.

Antiszimmetrikus reláció

Egy reláció antiszimmetrikus, ha ha a kapcsolatban áll b-vel és b a-val, akkor a = b.

Magyarul: kétirányú kapcsolatok csak azonos elemek között fordulhatnak elő.

Példa: a „≤” reláció antiszimmetrikus: ha a ≤ b és b ≤ a, akkor a = b.

Ellenpélda: a „barátja” reláció nem antiszimmetrikus: ha A barátja B-nek és B A-nak, akkor is különbözőek.

Aszimmetrikus reláció

Egy reláció aszimmetrikus, ha ha a kapcsolatban áll b-vel, akkor b biztosan nem a-val.

Magyarul: semmilyen kétirányú kapcsolat nincs, még azonos elemek között sem (szigorú aszimmetria kizárja az önhurkokat).

Példa: a „<” reláció aszimmetrikus: ha a < b, akkor b < a hamis.

Ellenpélda: a „≤” reláció nem aszimmetrikus, mert ha a = b, akkor (a,b) és (b,a) mindkettő igaz.

Tranzitív reláció

Egy reláció tranzitív, ha ha a kapcsolatban áll b-vel és b c-vel, akkor a c-vel is.

Magyarul: a kapcsolatok 'láncolódnak': ha van 2 hosszúságú út, akkor közvetlen kapcsolat is van.

Példa: a „≤” reláció tranzitív: ha a ≤ b és b ≤ c, akkor a ≤ c.

Ellenpélda: a „szülője” reláció nem mindig tranzitív (nagyszülő esetekben változik).

Totális reláció

Egy reláció totális, ha minden két elem összehasonlítható: bármely a, b-re vagy (a,b) vagy (b,a) benne van a relációban.

Magyarul: bármely két elem között az egyik kapcsolódik a másikhoz.

Példa: a „≤” reláció az egész számokon totális, mert bármely két szám közül az egyik kisebb vagy egyenlő a másikkal.

Ellenpélda: az „oszthatóság” reláció nem totális, mert például 2 és 3 között egyik sem osztja a másikat.

Összefoglalás

• Reflexív: minden elem önmagával kapcsolatban áll.
• Szimmetrikus: ha (a,b) ∈ R, akkor (b,a) is ∈ R.
• Antiszimmetrikus: ha (a,b) és (b,a) ∈ R, akkor csak akkor igaz, ha a = b.
• Aszimmetrikus: ha (a,b) ∈ R, akkor (b,a) biztosan nincs benne.
• Tranzitív: ha (a,b) és (b,c) ∈ R, akkor (a,c) is ∈ R.
• Totális: minden két elem összehasonlítható.