Reláció komplementere

Egy reláció komplementere az összes olyan rendezett párt tartalmazza, amely nem szerepel az eredeti relációban, de a vizsgált halmaz Descartes-szorzatában benne van. A komplementer tehát az 'ellenkezőjét' adja az eredeti relációnak.

Formális definíció

Ha A egy halmaz, R pedig egy reláció A-n, akkor R komplementere minden olyan (a,b) párt tartalmaz, amely benne van A × A-ban, de nincs benne R-ben.

Példák reláció komplementerére

Legyen A = {1,2,3}, és R = { (1,1), (2,2), (3,3) } (az egyenlőség reláció).

Ekkor A × A = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }.

Így R^c = { (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2) }.

• Ha R = „≤” az egész számokon, akkor R komplementere a „>” reláció.
• Ha R = „osztja” a természetes számokon, akkor a komplementer az „nem osztja”.
• Ha R = „barátja” emberek között, akkor a komplementer az „nem barátja” reláció.

Tulajdonságok

• Kétszer véve a komplementert visszakapjuk az eredeti relációt: (R^c)^c = R.
• Az unió és metszet kapcsolatban áll a komplementerrel (De Morgan-szabályok): (R ∪ S)^c = R^c ∩ S^c, (R ∩ S)^c = R^c ∪ S^c.
• A komplementer sokszor ellentétes tulajdonságot fejez ki az eredeti relációhoz képest (pl. barátja ↔ nem barátja).

Összefoglalás

A reláció komplementere minden olyan párt tartalmaz, ami nincs benne az eredetiben, de benne van a teljes Descartes-szorzatban. Ez hasznos eszköz a matematikában, mert lehetőséget ad a relációk ellentettjének vizsgálatára, és segít a logikai műveletekben is.

Gyakorló feladat