Szigorú rendezés (Strict Order)

A szigorú rendezés (angolul: strict order) egy olyan reláció, amely irreflexív, tranzitív és aszimmetrikus. Az aszimmetria azt jelenti, hogy ha a < b, akkor soha nem fordulhat elő, hogy b < a. Ez a rendezés 'szigorúan kisebb' típusú kapcsolatot fejez ki, ahol egy elem soha nem áll kapcsolatban önmagával, de ha egy elem kisebb egy másiknál, és az a másik kisebb egy harmadiknál, akkor az első is kisebb a harmadiknál.

Formális definíció

Irreflexív: egy elem soha nem áll kapcsolatban önmagával.

Tranzitív: ha a kapcsolatban áll b-vel és b c-vel, akkor a c-vel is.

Aszimmetrikus: ha a kapcsolatban áll b-vel, akkor b biztosan nem a-val.

Példák szigorú rendezésekre

• A „<” reláció a természetes számokon: irreflexív, tranzitív, aszimmetrikus.
• A szigorú részhalmaz ⊂ reláció a halmazokon: irreflexív, tranzitív, aszimmetrikus.
• A „szótári sorrendben megelőzi” reláció szavakon: irreflexív, tranzitív, aszimmetrikus.

Ellenpéldák (nem szigorú rendezések)

• A „≤” reláció: nem irreflexív (minden elem kapcsolódik önmagával).
• A „barátja” reláció emberek között: nem aszimmetrikus (ha A barátja B-nek, B lehet A barátja).
• Az „osztja” reláció a természetes számokon: nem aszimmetrikus (ha 2 osztja 4-et és 4 osztja 2-t? Nem, de egyenlőknél lenne, de mivel reflexív nem).

Kapcsolat a nem szigorú rendezésekkel

Minden szigorú rendezéshez tartozik egy 'nem szigorú' változat (például < helyett ≤), és fordítva. Ha van egy szigorú rendezés R, akkor létrehozhatjuk belőle a nem szigorú rendezést R′ úgy, hogy (a,b) ∈ R′ akkor és csak akkor, ha a = b vagy (a,b) ∈ R. Ez biztosítja a két fogalom szoros kapcsolatát.

Összefoglalás

A szigorú rendezés olyan reláció, amely irreflexív, tranzitív és aszimmetrikus. Ez a fajta reláció a 'szigorúan kisebb' típusú összehasonlításokat modellezi. Fontos szerepe van a matematikában és az informatikában, mert sok struktúra szigorú rendezésekre épül.

Gyakorló feladat