Jólrendezés (Well-order)

A jórendezés (angolul: well-order) a teljes rendezés egy speciális esete. Egy halmaz akkor jórendezett egy adott reláció szerint, ha a reláció teljes rendezés, ÉS minden nem üres részhalmaznak van legkisebb eleme.

Formális definíció

Legyen (A, R) egy rendezett halmaz, ahol R teljes rendezés. A jórendezés feltétele:

Ez azt mondja ki, hogy bármely nem üres részhalmazban találunk egy olyan elemet, amelynél nincs kisebb az adott részhalmazon belül – vagyis van minimális elem.

Példák jórendezésekre

• A természetes számok a ≤ relációval: minden nem üres részhalmaznak van legkisebb eleme (indukció elve).
• A pozitív egész számok szokásos sorrenddel: hasonló a természetes számokhoz.
• Végese halmazok teljes rendezéssel: mindig jórendezettek.

Ellenpéldák (nem jórendezések)

• Az egész számok a ≤ relációval: a negatív egész számok halmaza nincs legkisebb eleme.
• A valós számok a ≤ relációval: a (0,1) nyitott intervallum nincs legkisebb eleme.
• A racionális számok a ≤ relációval: hasonló probléma mint a valós számoknál.

Kapcsolat a teljes rendezéssel

Minden jórendezés teljes rendezés, de nem minden teljes rendezés jórendezés. A különbség az, hogy a jórendezésben minden részhalmazból kiválasztható egy minimális elem. Ez a tulajdonság teszi a jórendezést erősebb feltétellé a teljes rendezésnél.

Összefoglalás

A jórendezés a rendezések egyik legerősebb típusa. Nemcsak lineáris sorrendet ad a halmaz elemeinek, hanem biztosítja azt is, hogy minden részhalmaznak legyen legkisebb eleme. Ez a fogalom kulcsfontosságú a matematika számos területén, például a számelméletben és a halmazelméletben.

Gyakorló feladat