Descartes-szorzat

A Descartes-szorzat két halmaz minden lehetséges rendezett párját tartalmazza. Ha A és B halmaz adott, akkor az A × B a következőképpen van definiálva:

Az első elem mindig az A halmazból, a második a B halmazból származik. Fontos, hogy (a,b) és (b,a) általában nem ugyanaz.

Egyszerű példa

Legyen A = {1,2} és B = {x,y,z}. Ekkor az A × B összes párosítása:

Látható, hogy minden A-beli elem összepárosodik minden B-beli elemmel.

Több halmaz Descartes-szorzata

A Descartes-szorzat nem csak két halmazra értelmezhető. Három vagy több halmaz esetén is képezhető, ekkor rendezett hármast, négyest stb. kapunk.

Kapcsolat a relációkkal

Egy reláció mindig az A × B Descartes-szorzat részhalmaza. Ezért a relációk megértéséhez először a Descartes-szorzat fogalmát kell tisztázni.

Mindennapi példák

• Ha A = {„piros”, „kék”} és B = {„autó”, „kerékpár”}, akkor A × B az összes lehetséges párosítás a színek és járművek között.
• Ha A = emberek, B = sportok, akkor A × B tartalmazza az összes (ember, sport) párost.
• Ha A = napok, B = órák, akkor A × B a teljes órarend lehetséges időpontjait adja meg.

Összefoglalás

• A Descartes-szorzat két halmaz összes rendezett párját tartalmazza.
• (a,b) ≠ (b,a), kivéve ha a = b.
• Több halmaz Descartes-szorzata is képezhető, rendezett hármasok, négyesek stb. formájában.
• A reláció fogalma az A × B részhalmazaként értelmezhető.

Gyakorló feladat