Relációk definíciója

Egy reláció matematikai értelemben két halmaz közötti kapcsolat. Legyen A és B két halmaz. A reláció definíció szerint az A × B Descartes-szorzat egy részhalmaza.

Ez azt jelenti, hogy a reláció rendezett párokból áll, ahol az első elem az A-ból, a második pedig a B-ből származik.

Rendezett párok

Egy rendezett pár (a,b) esetén az első elem mindig A-hoz, a második pedig B-hez tartozik. Ez különbözteti meg a rendezett párt a halmaztól: (a,b) ≠ (b,a), kivéve, ha a = b.

Bináris reláció

Ha A = B, akkor a relációt bináris relációnak nevezzük. Ekkor a reláció az A × A Descartes-szorzat részhalmaza. Ilyen példák: kisebb vagy egyenlő, egyenlő, oszthatóság.

Általános n-áris relációk

A relációkat több mint két halmazra is meg lehet határozni, ezeket n-áris relációknak hívjuk. Három halmaz A, B, C esetén a reláció az A × B × C részhalmaza.

Példa: Egy ternáris reláció leírhatná a 3D térben a koordinátákat: (x,y,z), ahol x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C.

Fontos megjegyzések

Fontos: önmagában egy reláció lehet bármilyen részhalmaz. Nincs szabály arra, hogy mely pároknak kell benne lennie. A szigorú szabályok csak akkor jelennek meg, ha speciális relációkat (pl. reflexív, szimmetrikus, tranzitív) vizsgálunk.

Példa

Legyen A = {1,2,3} és B = {x,y}. Az A × B összes lehetséges párosa: {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}. Egy lehetséges reláció ezek közül: R = {(1,x), (3,y)}.

Ez egy érvényes reláció, mert a rendezett párok megfelelnek annak a feltételnek, hogy az első elem A-ból, a második B-ből származik.

Összefoglalás

• Reláció: az A × B Descartes-szorzat részhalmaza.
• Az elemek rendezett párok: (a,b), ahol a ∈ A, b ∈ B.
• Ha A = B, akkor bináris relációról beszélünk.
• Egy reláció lehet tetszőleges részhalmaz; a speciális tulajdonságokat később definiáljuk.

Gyakorló feladat