Cierres de Relaciones

Un cierre de relación significa extender la relación por la cantidad mínima necesaria para satisfacer una propiedad dada. Hablamos más comúnmente de cierre reflexivo, simétrico o transitivo.

Cierre Reflexivo

En el cierre reflexivo, añadimos pares (a,a) a cada elemento para hacer la relación reflexiva.

Por ejemplo, si R = { (1,2) } y A = {1,2}, entonces R_ref = { (1,2), (1,1), (2,2) }.

Cierre Simétrico

En el cierre simétrico, añadimos el par inverso a cada par para hacer la relación simétrica.

Por ejemplo, si R = { (1,2) }, entonces R_sym = { (1,2), (2,1) }.

Cierre Transitivo

En el cierre transitivo, añadimos cada par que sigue de la transitividad. Esta es la relación transitiva más pequeña que contiene la relación original.

En otras palabras: si (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) también estará en el cierre transitivo. Por ejemplo, si R = { (1,2), (2,3) }, entonces R_trans = { (1,2), (2,3), (1,3) }.

Ejemplo Comparando los Tres Cierres

Sea A = {1,2,3} y R = { (1,2), (2,3) }.

• Cierre reflexivo: { (1,2), (2,3), (1,1), (2,2), (3,3) }
• Cierre simétrico: { (1,2), (2,1), (2,3), (3,2) }
• Cierre transitivo: { (1,2), (2,3), (1,3) }

Propiedades

• El cierre es siempre la relación más pequeña que satisface la propiedad dada.
• El cierre reflexivo siempre incluye todos los pares (a,a).
• El cierre simétrico siempre incluye todos los pares inversos.
• El cierre transitivo incluye toda conexión que sigue de cadenas de elementos intermedios.

Resumen

Los cierres de relaciones permiten suplementar una relación con los pares necesarios para hacerla reflexiva, simétrica o transitiva. Esto es crucial en matemáticas, ya que muchas pruebas y algoritmos se basan en estos.

Ejercicio de Práctica