Definición de Relaciones

En términos matemáticos, una relación es una conexión entre dos conjuntos. Sean A y B dos conjuntos. Por definición, una relación es un subconjunto del producto cartesiano A × B.

Esto significa que la relación consiste en pares ordenados donde el primer elemento proviene de A y el segundo de B.

Pares Ordenados

Para un par ordenado (a,b), el primer elemento siempre pertenece a A, el segundo a B. Esto distingue el par ordenado de un conjunto: (a,b) ≠ (b,a), excepto si a = b.

Relación Binaria

Si A = B, entonces la relación se llama relación binaria. En este caso, la relación es un subconjunto del producto cartesiano A × A. Ejemplos: menor o igual que, igual, divisibilidad.

Relaciones n-arias en General

Las relaciones también se pueden definir para más de dos conjuntos, llamadas relaciones n-arias. Para tres conjuntos A, B, C, la relación es un subconjunto de A × B × C.

Ejemplo: Una relación ternaria podría describir coordenadas en el espacio 3D: (x,y,z) donde x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C.

Notas Importantes

Importante: una relación en sí puede ser cualquier subconjunto. No hay regla para qué pares deben estar en ella. Las reglas estrictas solo aparecen al examinar relaciones especiales (p.ej., reflexivas, simétricas, transitivas).

Ejemplo

Sea A = {1,2,3} y B = {x,y}. Todos los pares posibles de A × B: {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}. Una posible relación de estos: R = {(1,x), (3,y)}.

Esta es una relación válida porque los pares ordenados satisfacen la condición de que el primer elemento es de A, el segundo de B.

Resumen

• Relación: un subconjunto del producto cartesiano A × B.
• Los elementos son pares ordenados: (a,b), donde a ∈ A, b ∈ B.
• Si A = B, hablamos de una relación binaria.
• Una relación puede ser cualquier subconjunto; las propiedades especiales se definen después.

Ejercicio de Práctica