Orden Parcial

Llamamos a una relación orden parcial (en inglés: partial order) si se satisfacen tres propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. Esta combinación asegura que la relación cree una estructura 'ordenada', aunque no necesariamente un orden total.

Definición Formal

Reflexiva: cada elemento está relacionado consigo mismo.

Antisimétrica: si un elemento está relacionado con otro y viceversa, entonces son iguales.

Transitiva: si a está relacionado con b y b con c, entonces a está relacionado con c.

Ejemplos de Órdenes Parciales

• La relación ≤ en enteros: reflexiva, antisimétrica, transitiva.
• La relación de divisibilidad en números naturales: reflexiva, antisimétrica, transitiva.
• La relación subconjunto ⊆ en conjuntos: reflexiva, antisimétrica, transitiva.

Contraejemplos (No Órdenes Parciales)

• La relación < : no reflexiva (ningún número es menor que sí mismo).
• La relación amigo de entre personas: no antisimétrica (si A es amigo de B y B de A, siguen siendo personas diferentes).
• La relación hermano de entre personas: no antisimétrica (los hermanos son personas diferentes).

Conjunto Parcialmente Ordenado (Poset)

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado (poset). En un poset, no cada par de elementos necesita ser comparable, pero donde lo son, la relación muestra comportamiento ordenado.

Por ejemplo, en la relación subconjunto, los conjuntos {1,2} y {2,3} no se pueden comparar porque ninguno es subconjunto del otro. Por lo tanto, la estructura es 'parcialmente' ordenada, no completamente.

Resumen

Un orden parcial es así una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Esta combinación permite establecer un orden parcial entre los elementos del conjunto, que es un concepto básico en muchas áreas matemáticas e informáticas (p.ej., grafos, jerarquías, estructuras de datos).

Ejercicio de Práctica