Propiedades de las Relaciones

Podemos clasificar las relaciones basándonos en diversas propiedades. Estas nos ayudan a entender cómo se comporta la relación y a qué tipo de estructura matemática pertenece.

Relación Reflexiva

Una relación es reflexiva si cada elemento está relacionado consigo mismo.

En otras palabras: cada elemento incluye a sí mismo, por lo que por ejemplo (1,1), (2,2), (3,3) siempre están en la relación.

Ejemplo: La relación "≤" es reflexiva porque cada número es menor o igual que sí mismo.

Contraejemplo: La relación "<" no es reflexiva porque ningún número es menor que sí mismo.

Relación Simétrica

Una relación es simétrica si siempre que a está relacionado con b, b está relacionado con a.

En otras palabras: las conexiones son bidireccionales; si (a,b) está en la relación, también lo está (b,a).

Ejemplo: La relación "hermano de" es simétrica: si Anna es hermano de Béla, entonces Béla es hermano de Anna.

Contraejemplo: La relación "padre de" no es simétrica: si Anna es padre de Béla, Béla no es padre de Anna.

Relación Antisimétrica

Una relación es antisimétrica si siempre que a está relacionado con b y b con a, entonces a = b.

En otras palabras: las conexiones bidireccionales solo pueden ocurrir entre elementos idénticos.

Ejemplo: La relación "≤" es antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.

Contraejemplo: La relación "amigo de" no es antisimétrica: si A es amigo de B y B de A, siguen siendo personas diferentes.

Relación Asimétrica

Una relación es asimétrica si siempre que a está relacionado con b, b no está relacionado con a.

En otras palabras: no hay conexiones bidireccionales en absoluto, ni siquiera entre elementos idénticos (asimetría estricta excluye auto-bucles).

Ejemplo: La relación "<" es asimétrica: si a < b, entonces b < a es falso.

Contraejemplo: La relación "≤" no es asimétrica porque si a = b, entonces (a,b) y (b,a) ambos se cumplen.

Relación Transitiva

Una relación es transitiva si siempre que a está relacionado con b y b con c, entonces a está relacionado con c.

En otras palabras: las conexiones 'encadenan': si hay un camino de longitud 2, hay una conexión directa.

Ejemplo: La relación "≤" es transitiva: si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.

Contraejemplo: La relación "padre de" no es siempre transitiva (casos de abuelos varían).

Relación Total

Una relación es total si cada par de elementos es comparable: para cualquier a, b, o (a,b) o (b,a) está en la relación.

En otras palabras: entre cualquier dos elementos, uno está relacionado con el otro.

Ejemplo: La relación "≤" en enteros es total porque para cualquier dos números, uno es menor o igual que el otro.

Contraejemplo: La relación de divisibilidad no es total porque por ejemplo 2 y 3, ninguno divide al otro.

Resumen

• Reflexiva: cada elemento está relacionado consigo mismo.
• Simétrica: si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R.
• Antisimétrica: si (a,b) y (b,a) ∈ R, entonces solo si a = b.
• Asimétrica: si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) definitivamente no.
• Transitiva: si (a,b) y (b,c) ∈ R, entonces (a,c) ∈ R.
• Total: cada dos elementos son comparables.