Complemento de Relación

El complemento de una relación contiene todos los pares ordenados que no están en la relación original pero están en el producto cartesiano del conjunto examinado. El complemento da así el 'opuesto' de la relación original.

Definición Formal

Si A es un conjunto y R es una relación en A, entonces el complemento de R contiene cada par (a,b) que está en A × A pero no en R.

Ejemplos de Complementos de Relación

Sea A = {1,2,3}, y R = { (1,1), (2,2), (3,3) } (la relación de igualdad).

Entonces A × A = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }.

Así R^c = { (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2) }.

• Si R = "≤" en enteros, entonces el complemento de R es la relación ">".
• Si R = "divide" en números naturales, entonces el complemento es "no divide".
• Si R = "amigo de" entre personas, entonces el complemento es la relación "no amigo de".

Propiedades

• Tomar el complemento dos veces devuelve la relación original: (R^c)^c = R.
• La unión e intersección se relacionan con el complemento (leyes de De Morgan): (R ∪ S)^c = R^c ∩ S^c, (R ∩ S)^c = R^c ∪ S^c.
• El complemento a menudo expresa la propiedad opuesta en comparación con la relación original (p.ej., amigo de ↔ no amigo de).

Resumen

El complemento de una relación contiene cada par no en la original pero en el producto cartesiano completo. Esta es una herramienta útil en matemáticas, ya que permite examinar el opuesto de las relaciones y ayuda en operaciones lógicas.

Ejercicio de Práctica