Relación de Equivalencia

Una relación de equivalencia en matemáticas es una relación especial que tiene tres propiedades básicas: reflexiva, simétrica y transitiva. Estas juntas aseguran que la relación exprese 'equivalencia' entre los elementos del conjunto.

La fórmula anterior muestra las tres condiciones de la relación de equivalencia en una línea. Pero es más comprensible si describimos las tres propiedades por separado.

Esto es reflexividad: cada elemento está relacionado consigo mismo.

Esto es simetría: si a está relacionado con b, entonces b está relacionado con a.

Esto es transitividad: si a está relacionado con b y b con c, entonces a está relacionado con c.

Ejemplos de Relaciones de Equivalencia

• Relación de paridad en enteros: par o impar. Dos números son equivalentes si tienen la misma paridad.
• Congruencia módulo n en enteros: a ≡ b mod n si n divide (a - b).
• Mismo cumpleaños entre personas: dos personas son equivalentes si nacieron el mismo día.

Contraejemplos (Relaciones No de Equivalencia)

• Relación menor que (<) en números naturales: no reflexiva (ningún número es menor que sí mismo).
• Relación padre de entre personas: no simétrica (si A es padre de B, B no es padre de A).
• Relación amigo de entre personas: no transitiva (si A es amigo de B y B de C, A puede no ser amigo de C).

Clases de Equivalencia

Una relación de equivalencia particiona el conjunto en clases de equivalencia. Una clase de equivalencia contiene todos los elementos que son equivalentes entre sí. Estas clases son mutuamente disjuntas y juntas cubren todo el conjunto.

Por ejemplo, la relación 'mismo resto mod 3' particiona los enteros en tres clases: {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}.

Resumen

Una relación de equivalencia es así una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva. Estas propiedades aseguran que los elementos del conjunto se puedan dividir en 'grupos equivalentes', es decir, clases de equivalencia. Este concepto juega un rol central en matemáticas, ya que muchas estructuras y conceptos se basan en él.

Ejercicio de Práctica