Álgebra Relacional

El álgebra relacional es un sistema formal para manejar relaciones. Con él, podemos realizar diversas operaciones en relaciones, similar a cómo podemos realizar unión, intersección o diferencia en conjuntos. El resultado de las operaciones es siempre otra relación, por lo que nos quedamos dentro del conjunto de relaciones (cerradura).

Operaciones Básicas

• Unión: R ∪ S = { (a,b) | (a,b) ∈ R o (a,b) ∈ S }. Definida solo si R y S provienen del mismo universo.
• Intersección: R ∩ S = { (a,b) | (a,b) ∈ R y (a,b) ∈ S }.
• Diferencia: R - S = { (a,b) | (a,b) ∈ R y (a,b) ∉ S }.
• Complemento: R^c = todos los pares en el universo no en R.
• Composición: R ∘ S = { (a,c) | ∃ b: (a,b) ∈ R y (b,c) ∈ S }.

Ejemplo

Sea R = { (1,2), (2,3) }, S = { (3,4) }, universo U = {1,2,3,4} × {1,2,3,4}.

• R ∪ S = { (1,2), (2,3), (3,4) }.
• R ∩ S = ∅.
• R - S = { (1,2), (2,3) }.
• R ∘ S = { (2,4) } porque (2,3) ∈ R y (3,4) ∈ S.

Propiedades

• Las operaciones están cerradas en el conjunto de relaciones.
• La unión e intersección son conmutativas y asociativas.
• La composición es asociativa pero generalmente no conmutativa.
• El complemento se comporta según las leyes de De Morgan.

Resumen

El álgebra relacional proporciona una herramienta formal para manejar relaciones. Sus operaciones básicas permiten combinar, filtrar y transformar relaciones, lo cual es de importancia central en matemáticas y el mundo de las bases de datos.

Ejercicio de Práctica