Reconocimiento de Relaciones Antisimétricas — ¿Cuáles relaciones son antisimétricas en números naturales?

Las relaciones ≤ y de divisibilidad son antisimétricas, porque si dos elementos están mutuamente relacionados, son idénticos. La < también es antisimétrica, porque no puede ocurrir que tanto (a,b) como (b,a) estén presentes. La relación de hermano, sin embargo, no es antisimétrica.

Relación Antisimétrica

Simetría Asimetría

Una relación es antisimétrica si para cualquier dos elementos: si tanto (a,b) como (b,a) están en la relación, entonces solo puede ser que a = b.

En otras palabras: dos elementos distintos no pueden estar en una relación mutua. Si ambas direcciones están presentes, entonces a y b son en realidad el mismo elemento.

Ejemplos de Relaciones Antisimétricas

La relación "≤" es antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a, entonces solo puede ser que a = b.
La relación de "divisibilidad" en números naturales es antisimétrica: si a divide a b y b divide a a, entonces ciertamente a = b.

Contraejemplos (Relaciones No Antisimétricas)

La relación de "hermano" no es antisimétrica: si Anna es hermana de Béla y Béla es hermano de Anna, aún no son la misma persona.
La relación de "amigo de" tampoco es antisimétrica, porque si Anna es amiga de Béla y Béla es amigo de Anna, siguen siendo personas separadas.

Resumen

Una relación es antisimétrica si no puede ocurrir que dos elementos distintos estén mutuamente relacionados. Si ambas direcciones están presentes, los elementos deben ser idénticos.

Ejercicio de Práctica

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