Orden Total

Un orden total (en inglés: total order o linear order) es una relación que satisface todas las propiedades de un orden parcial (reflexiva, antisimétrica, transitiva), y además es total, lo que significa que cada par de elementos es comparable.

Definición Formal

Sea R una relación en un conjunto A. R es un orden total si:

• Reflexiva: ∀a ∈ A: (a,a) ∈ R.
• Antisimétrica: ∀a,b ∈ A: (a,b) ∈ R ∧ (b,a) ∈ R ⇒ a = b.
• Transitiva: ∀a,b,c ∈ A: (a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R.
• Totalidad (comparabilidad): ∀a,b ∈ A: (a,b) ∈ R ∨ (b,a) ∈ R.

La totalidad asegura que para cualquier dos elementos distintos, uno precede al otro.

Ejemplos de Órdenes Totales

• La relación ≤ en enteros: reflexiva, antisimétrica, transitiva y total.
• Orden alfabético en palabras: cualquier dos palabras se pueden comparar.
• Orden cronológico en fechas: cualquier dos fechas, una es anterior a la otra.

Contraejemplos (No Órdenes Totales)

• Relación de divisibilidad en números naturales: reflexiva, antisimétrica, transitiva, pero no total (p.ej., 2 y 3 incomparables).
• Relación subconjunto ⊆ en conjuntos: orden parcial, pero no total (p.ej., {1} y {2} incomparables).
• Relación amigo de entre personas: no antisimétrica.

Total vs. Orden Parcial

Todo orden total es también un orden parcial, pero no todo orden parcial es total. La diferencia es la comparabilidad: los órdenes parciales pueden tener elementos incomparables, mientras que los órdenes totales comparan cada par.

Resumen

Un orden total es una relación que crea una secuencia ordenada en el conjunto: reflexiva, antisimétrica, transitiva y total. Es uno de los conceptos más importantes en matemáticas, ya que números, letras, fechas y muchos otros datos se encuentran naturalmente en orden total.

Ejercicio de Práctica