Orden Estricto

Un orden estricto (en inglés: strict order) es una relación que es irreflexiva, transitiva y asimétrica. La asimetría significa que si a < b, nunca puede ocurrir que b < a. Este orden expresa conexiones de tipo 'estrictamente menor', donde un elemento nunca se relaciona consigo mismo, pero si un elemento es menor que otro, y ese otro es menor que un tercero, entonces el primero también es menor que el tercero.

Definición Formal

Irreflexiva: un elemento nunca se relaciona consigo mismo.

Transitiva: si a se relaciona con b y b con c, entonces a se relaciona con c.

Asimétrica: si a se relaciona con b, entonces b no se relaciona con a.

Ejemplos de Órdenes Estrictos

• La relación "<" en números naturales: irreflexiva, transitiva, asimétrica.
• La relación subconjunto estricto ⊂ en conjuntos: irreflexiva, transitiva, asimétrica.
• La relación "precede en orden alfabético" en palabras: irreflexiva, transitiva, asimétrica.

Contraejemplos (No Órdenes Estrictos)

• La relación "≤": no irreflexiva (cada elemento se relaciona consigo mismo).
• La relación "amigo de" entre personas: no asimétrica (si A es amigo de B, B puede ser amigo de A).
• La relación "divide" en números naturales: no asimétrica (si 2 divide 4 y 4 divide 2? No, pero para iguales sería, pero como reflexiva no).

Conexión con Órdenes No Estrictos

Cada orden estricto tiene una variante 'no estricta' (p.ej., < en lugar de ≤), y viceversa. Si hay un orden estricto R, podemos crear el orden no estricto R′ de él de modo que (a,b) ∈ R′ si y solo si a = b o (a,b) ∈ R. Esto asegura la conexión cercana entre los dos conceptos.

Resumen

Un orden estricto es una relación que es irreflexiva, transitiva y asimétrica. Este tipo de relación modela comparaciones 'estrictamente menores'. Juega un rol importante en matemáticas e informática porque muchas estructuras se basan en órdenes estrictos.

Ejercicio de Práctica