Relación Bijectiva (Correspondencia Uno a Uno)

Llamamos a una relación o función bijectiva si es tanto inyectiva como sobreyectiva. Esto significa que cada entrada corresponde a exactamente una salida, y cada salida está conectada a exactamente una entrada.

Definición Formal

Sea f: A → B un mapeo. f es bijectiva si:

• Inyectiva: ∀a₁,a₂ ∈ A, f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂.
• Sobrejectiva: ∀b ∈ B, ∃a ∈ A: f(a) = b.

En otras palabras, la función proporciona una cobertura uno a uno y completa entre los dos conjuntos.

Ejemplos de Relaciones Bijectivas

• La función f(x) = x + 1 en números enteros: cada número entero corresponde a exactamente otro número entero, y todos los números enteros son alcanzables.
• Los números de identificación personal asignados a las personas: cada persona tiene un número único, y cada número corresponde a exactamente una persona.
• La correspondencia uno a uno entre las letras del alfabeto inglés y las primeras 26 letras del alfabeto húngaro.

Contraejemplos (Relaciones No Bijectivas)

• La función f(x) = x² en números reales: no inyectiva, porque f(2) = f(-2).
• La relación entre países y ciudades: no sobreyectiva, porque muchas ciudades no son capitales.
• La relación entre personas y el color de su cabello: no inyectiva, porque múltiples personas pueden tener el mismo color de cabello.

Conexión con la Correspondencia Uno a Uno

Una biyección también se conoce como correspondencia uno a uno. Esto es crucial en matemáticas porque permite emparejar elementos de dos conjuntos uno a uno y así determinar que tienen el mismo número de elementos. Las funciones bijectivas también forman la base de los isomorfismos entre diferentes estructuras.

Resumen

La esencia de una relación bijectiva es que cada entrada corresponde a exactamente una salida, y cada salida está conectada a exactamente una entrada. Este mapeo uno a uno y completo es un concepto extremadamente importante tanto en matemáticas como en informática.

Ejercicio de Práctica