Relación Total (Completa)

Una relación es total (o completa) si cualquier dos elementos distintos son comparables. Esto significa que para todo a,b ∈ A, o (a,b) ∈ R o (b,a) ∈ R.

En otras palabras: entre cualquier dos elementos, siempre podemos determinar cuál viene antes que el otro o está relacionado con él; no hay par que no se pueda comparar.

Ejemplos de Relaciones Totales

• La relación ≤ en números naturales: para cualquier dos números, podemos decidir cuál es menor o igual.
• La relación ≥ también es total, porque cualquier dos números se pueden comparar con ella también.
• Orden alfabético (orden lexicográfico) entre palabras: entre cualquier dos palabras, podemos determinar cuál sigue a la otra.

Contraejemplos (Relaciones No Totales)

• La relación de divisibilidad en números naturales no es total, porque por ejemplo 2 no divide 3, y 3 no divide 2.
• La relación hermano tampoco es total, porque no cada par de personas tiene tal conexión.

Resumen

En las relaciones totales, cada dos elementos son comparables, lo cual es fundamental en ordenamientos, como ordenar números o palabras. Si una relación no es total, hay ciertos pares que no se pueden comparar.

Ejercicio de Práctica