Antisymmetrische Relation

Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn für beliebige zwei Elemente gilt: Wenn sowohl (a,b) als auch (b,a) in der Relation sind, dann kann das nur der Fall sein, wenn a = b.

Mit anderen Worten: Zwei unterschiedliche Elemente können nicht gegenseitig in Relation stehen. Wenn beide Richtungen vorhanden sind, dann sind a und b tatsächlich dasselbe Element.

Beispiele für antisymmetrische Relationen

• Die "≤"-Relation ist antisymmetrisch: Wenn a ≤ b und b ≤ a, dann kann das nur bedeuten, dass a = b.
• Die "Teilbarkeits"-Relation auf natürlichen Zahlen ist antisymmetrisch: Wenn a b teilt und b a teilt, dann gilt sicher a = b.

Gegenbeispiele (nicht antisymmetrische Relationen)

• Die "Geschwister"-Relation ist nicht antisymmetrisch: Wenn Anna Geschwister von Béla ist und Béla Geschwister von Anna, sind sie trotzdem nicht dieselbe Person.
• Die "Freund von"-Relation ist auch nicht antisymmetrisch, weil wenn Anna Freundin von Béla ist und Béla Freund von Anna, sie separate Personen bleiben.

Zusammenfassung

Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn es nicht vorkommen kann, dass zwei unterschiedliche Elemente gegenseitig in Relation stehen. Wenn beide Richtungen vorhanden sind, müssen die Elemente identisch sein.

Übungsaufgabe