Graphische Darstellung von Relationen

Relationen können oft anschaulicher mit Graphen dargestellt werden. Im Graphen repräsentieren die Elemente der Menge Knoten (Punkte), und die geordneten Paare in der Relation werden durch Kanten (Pfeile) in der entsprechenden Richtung dargestellt.

Formale Beschreibung

Sei R eine Relation auf einer Menge A. In der graphischen Darstellung:

• Wir zeichnen für jedes a ∈ A einen Knoten.
• Wir zeichnen für jedes (a,b) ∈ R eine Kante von a nach b.
• Wenn a = b, startet eine Selbstschleife vom Knoten zu sich selbst.

Beispiele für graphische Darstellung

Sei A = {1,2,3}, R = { (1,2), (2,3), (3,1) }.

Der Graph hat drei Knoten: 1, 2, 3, mit gerichteten Kanten 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1, die einen gerichteten Zyklus bilden.

Eigenschaften in Graphform

• Reflexive Relationen haben Selbstschleifen an jedem Knoten.
• Symmetrische Relationen haben Kanten in beide Richtungen für jede Kante (wenn a → b, dann b → a).
• Transitive Relationen erfordern, dass Ketten von Kanten direkte Kanten implizieren.
• Teilordnungen können als gerichtete azyklische Graphen (DAG) dargestellt werden.

Zusammenfassung

Die graphische Darstellung hilft, die Eigenschaften von Relationen zu verstehen und zu illustrieren. Knoten repräsentieren Elemente, Kanten Verbindungen. Das ist besonders nützlich in Mathematik, Informatik und Netzwerkmodellierung.

Übungsaufgabe