Definition von Relationen

In mathematischem Sinne ist eine Relation eine Verbindung zwischen zwei Mengen. Seien A und B zwei Mengen. Nach Definition ist eine Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × B.

Das bedeutet, dass die Relation aus geordneten Paaren besteht, wobei das erste Element aus A und das zweite aus B stammt.

Geordnete Paare

Für ein geordnetes Paar (a,b) gehört das erste Element immer zu A, das zweite zu B. Das unterscheidet das geordnete Paar von einer Menge: (a,b) ≠ (b,a), außer wenn a = b.

Binäre Relation

Wenn A = B, dann heißt die Relation binäre Relation. In diesem Fall ist die Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × A. Beispiele: kleiner oder gleich, gleich, Teilbarkeit.

Allgemeine n-äre Relationen

Relationen können auch für mehr als zwei Mengen definiert werden, genannt n-äre Relationen. Für drei Mengen A, B, C ist die Relation eine Teilmenge von A × B × C.

Beispiel: Eine ternäre Relation könnte Koordinaten im 3D-Raum beschreiben: (x,y,z) wobei x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C.

Wichtige Hinweise

Wichtig: Eine Relation kann selbst jede Teilmenge sein. Es gibt keine Regel, welche Paare darin sein müssen. Strenge Regeln erscheinen nur, wenn man spezielle Relationen untersucht (z.B. reflexiv, symmetrisch, transitiv).

Beispiel

Sei A = {1,2,3} und B = {x,y}. Alle möglichen Paare von A × B: {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}. Eine mögliche Relation daraus: R = {(1,x), (3,y)}.

Das ist eine gültige Relation, weil die geordneten Paare der Bedingung entsprechen, dass das erste Element aus A und das zweite aus B stammt.

Zusammenfassung

• Relation: Eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × B.
• Die Elemente sind geordnete Paare: (a,b), wobei a ∈ A, b ∈ B.
• Wenn A = B, sprechen wir von einer binären Relation.
• Eine Relation kann jede Teilmenge sein; spezielle Eigenschaften werden später definiert.

Übungsaufgabe