Surjektive Relation (Surjektive Abbildung)

Eine Relation oder Funktion heißt surjektiv (oder auf, auf Englisch: surjective), wenn jedem Element in der Zielmenge mindestens ein Eingang zugeordnet ist, der mit ihm verbunden ist. Anders gesagt: Es gibt kein Element in der Zielmenge, das die Funktion nicht 'erreicht'.

Formale Definition

Das drückt aus, dass für jedes Element in der Zielmenge mindestens ein Start-Element gefunden wird, auf das die Funktion es abbildet.

Beispiele für surjektive Relationen

• Die f(x) = x³ auf reellen Zahlen: Jede reelle Zahl ist das Kubus einer reellen Zahl.
• Die 'Geburtsmonat von Personen'-Relation: Jeder Monat hat mindestens eine Person, die in ihm geboren wurde.
• Die Identitätsfunktion f(x) = x: Jedes Element in der Zielmenge wird genau einmal erreicht.

Gegenbeispiele (Nicht-surjektive Relationen)

• Die f(x) = x² auf reellen Zahlen: Negative Zahlen werden nicht erreicht (keine reelle Quadratwurzel).
• Die 'Hauptstädte von Ländern zu Städten'-Relation: Viele Städte sind keine Hauptstädte.
• Die f(x) = 2x auf ganzen Zahlen: Ungerade Zahlen werden nicht erreicht.

Zusammenhang mit Funktionen

Surjektivität stellt sicher, dass die Funktion jedes Element in der Zielmenge abdeckt. Eine Funktion kann surjektiv, injektiv oder bijektiv sein. Surjektivität betont die 'Vollständigkeit': Kein Ziel-Element bleibt ungedeckt.

Zusammenfassung

Das Wesen einer surjektiven Relation ist, dass jedem Element in der Zielmenge mindestens ein Eingang entspricht. Das ist in Mathematik und Informatik wichtig, z.B. wenn man sicherstellen muss, dass jeder mögliche Wert durch eine Funktion erzeugt werden kann.

Übungsaufgabe