Funktionale Relation

Eine Relation heißt funktional, wenn jedes Element in der Startmenge zu höchstens einem Element in der Zielmenge verbunden ist. Anders gesagt: Es gibt keinen Fall, in dem dasselbe Start-Element zu zwei verschiedenen Ausgängen verbunden ist.

Das ist genau die Eigenschaft, die Funktionen charakterisiert: Jeder Eingang entspricht eindeutig höchstens einem Ausgang.

Formale Definition

Mit anderen Worten: Wenn ein Element mit zwei verschiedenen Elementen verbunden wäre, müssten sie tatsächlich dasselbe sein. Das schließt die 'Mehrfach-Ausgang'-Situation aus.

Beispiele für funktionale Relationen

• Die Funktion f(x) = x²: Jeder Eingang x entspricht genau einem Ausgang x².
• Die 'Hauptstadt eines Landes'-Relation: Jedes Land hat genau eine Hauptstadt.
• Die 'Geburtsjahr einer Person'-Relation: Jede Person hat genau ein Geburtsjahr.

Gegenbeispiele (Nicht-funktionale Relationen)

• Die 'Geschwister einer Person'-Relation: Eine Person kann mehrere Geschwister haben, also nicht funktional.
• Die 'Städte eines Landes'-Relation: Ein Land hat mehrere Städte, nicht nur eine.
• Die 'Schüler einer Klasse'-Relation: Eine Klasse hat mehrere Schüler.

Zusammenhang mit Funktionen

Das Konzept der funktionalen Relation ist die Basis von Funktionen. Wenn eine Relation funktional ist, kann sie als Funktion betrachtet werden, wenn zudem jedem Start-Element ein Ausgang zugeordnet ist (nicht nur höchstens einer), sprechen wir von einer vollständigen Funktion.

Zusammenfassung

Das Wesen einer funktionalen Relation ist, dass jeder Eingang zu höchstens einem Ausgang entsprechen kann. Das ist eine grundlegende Eigenschaft mathematischer Funktionen und spielt eine wichtige Rolle auch im Alltag, wenn es um eindeutige Zuordnungen geht.

Übungsaufgabe