Relationenalgebra

Die Relationenalgebra ist ein formales System zur Handhabung von Relationen. Mit ihr können wir verschiedene Operationen an Relationen durchführen, ähnlich wie wir Vereinigung, Schnitt oder Differenz an Mengen durchführen können. Das Ergebnis der Operationen ist immer eine weitere Relation, also bleiben wir innerhalb der Menge der Relationen (Abgeschlossenheit).

Grundlegende Operationen

• Vereinigung: R ∪ S = { (a,b) | (a,b) ∈ R oder (a,b) ∈ S }. Nur definiert, wenn R und S aus demselben Universum stammen.
• Schnitt: R ∩ S = { (a,b) | (a,b) ∈ R und (a,b) ∈ S }.
• Differenz: R - S = { (a,b) | (a,b) ∈ R und (a,b) ∉ S }.
• Komplement: R^c = alle Paare im Universum nicht in R.
• Komposition: R ∘ S = { (a,c) | ∃ b: (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ S }.

Beispiel

Sei R = { (1,2), (2,3) }, S = { (3,4) }, Universum U = {1,2,3,4} × {1,2,3,4}.

• R ∪ S = { (1,2), (2,3), (3,4) }.
• R ∩ S = ∅.
• R - S = { (1,2), (2,3) }.
• R ∘ S = { (2,4) } weil (2,3) ∈ R und (3,4) ∈ S.

Eigenschaften

• Die Operationen sind auf der Menge der Relationen abgeschlossen.
• Vereinigung und Schnitt sind kommutativ und assoziativ.
• Die Komposition ist assoziativ, aber im Allgemeinen nicht kommutativ.
• Das Komplement verhält sich nach den De-Morgan-Regeln.

Zusammenfassung

Die Relationenalgebra bietet ein formales Werkzeug zur Handhabung von Relationen. Ihre grundlegenden Operationen ermöglichen das Kombinieren, Filtern und Transformieren von Relationen, was in der Mathematik und der Welt der Datenbanken zentral wichtig ist.

Übungsaufgabe