Erkennung asymmetrischer Relationen — Welche Relationen sind auf natürlichen Zahlen asymmetrisch?

Q: Erkennung asymmetrischer Relationen — Welche Relationen sind auf natürlichen Zahlen asymmetrisch?

Die <- und die strenge Teiler-Relation sind asymmetrisch, weil die Wahrheit einer Richtung die andere ausschließt. Die ≤ ist nicht asymmetrisch, weil sie gegenseitige Fälle enthalten kann (z.B. a = b). Die Geschwister-Relation ist auch nicht asymmetrisch, weil sie gegenseitig sein kann.

Asymmetrische Relation

Antisymmetrie Transitivität

Eine Relation ist asymmetrisch, wenn für beliebige zwei Elemente gilt: Wenn (a,b) in der Relation ist, dann ist (b,a) definitiv nicht darin.

Mit anderen Worten: Wenn die Verbindung in einer Richtung wahr ist, kann sie in der anderen Richtung nie wahr sein.

Beispiele für asymmetrische Relationen

Die "<"-Relation ist asymmetrisch: Wenn 2 < 5, dann ist es nie wahr, dass 5 < 2.
Die "strenge Teiler"-Relation ist auch asymmetrisch: Wenn 2 Teiler von 4 ist, dann kann 4 nie strenger Teiler von 2 sein.

Gegenbeispiele (nicht asymmetrische Relationen)

Die "≤"-Relation ist nicht asymmetrisch, weil wenn a = b, dann sind sowohl (a,b) als auch (b,a) darin.
Die "Freund von"-Relation ist auch nicht asymmetrisch, weil sie oft gegenseitig ist.

Zusammenfassung

Eine asymmetrische Relation schließt immer Gegenseitigkeit aus: Wenn (a,b) wahr ist, dann ist (b,a) definitiv falsch. Das ist strenger als die antisymmetrische Bedingung, weil dort Selbstrelationen (a,a) erlaubt sind, hier aber nicht.

Übungsaufgabe

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