Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation in der Mathematik ist eine spezielle Relation, die drei grundlegende Eigenschaften hat: reflexiv, symmetrisch und transitiv. Diese sorgen zusammen dafür, dass die Relation 'Äquivalenz' unter den Elementen der Menge ausdrückt.

Die obige Formel zeigt alle drei Bedingungen der Äquivalenzrelation in einer Zeile. Aber es ist verständlicher, wenn wir die drei Eigenschaften getrennt beschreiben.

Das ist Reflexivität: Jedes Element steht in Relation zu sich selbst.

Das ist Symmetrie: Wenn a mit b in Relation steht, dann steht b mit a in Relation.

Das ist Transitivität: Wenn a mit b und b mit c in Relation steht, dann steht a mit c in Relation.

Beispiele für Äquivalenzrelationen

• Paritätsrelation auf ganzen Zahlen: gerade oder ungerade. Zwei Zahlen sind äquivalent, wenn sie dieselbe Parität haben.
• Kongruenz modulo n auf ganzen Zahlen: a ≡ b mod n, wenn n (a - b) teilt.
• Gleicher Geburtsdatum-Relation unter Menschen: Zwei Menschen sind äquivalent, wenn sie am selben Tag geboren wurden.

Gegenbeispiele (Nicht-Äquivalenzrelationen)

• Kleiner als (<)-Relation auf natürlichen Zahlen: Nicht reflexiv (keine Zahl ist kleiner als sich selbst).
• Eltern von-Relation unter Menschen: Nicht symmetrisch (wenn A Elternteil von B ist, ist B nicht Elternteil von A).
• Freund von-Relation unter Menschen: Nicht transitiv (wenn A Freund von B und B von C ist, kann A nicht Freund von C sein).

Äquivalenzklassen

Eine Äquivalenzrelation teilt die Menge in Äquivalenzklassen auf. Eine Äquivalenzklasse enthält alle Elemente, die untereinander äquivalent sind. Diese Klassen sind gegenseitig disjunkt und decken zusammen die gesamte Menge ab.

Zum Beispiel teilt die 'gleicher Rest modulo 3'-Relation die ganzen Zahlen in drei Klassen: {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}, {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}, {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}.

Zusammenfassung

Eine Äquivalenzrelation ist somit eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Diese Eigenschaften sorgen dafür, dass die Elemente der Menge in 'äquivalente Gruppen', d.h. Äquivalenzklassen, unterteilt werden können. Dieses Konzept spielt eine zentrale Rolle in der Mathematik, da viele Strukturen und Konzepte darauf aufbauen.

Übungsaufgabe