Wohlordnung

Eine Wohlordnung (auf Englisch: well-order) ist ein Sonderfall der totalen Ordnung. Ein Satz ist wohlgeordnet bezüglich einer gegebenen Relation, wenn die Relation eine totale Ordnung ist UND jeder nicht-leere Untersatz ein kleinstes Element hat.

Formale Definition

Sei (A, R) ein geordneter Satz, wobei R eine totale Ordnung ist. Die Wohlordnungsbedingung:

Das besagt, dass in jedem nicht-leeren Untersatz ein Element gefunden wird, für das es kein kleineres im jeweiligen Untersatz gibt – d.h. es gibt ein minimales Element.

Beispiele für Wohlordnungen

• Natürliche Zahlen mit ≤: Jeder nicht-leere Untersatz hat ein kleinstes Element (Induktionsprinzip).
• Positive ganze Zahlen mit üblicher Ordnung: Ähnlich wie natürliche Zahlen.
• Endliche Mengen mit totaler Ordnung: Immer wohlgeordnet.

Gegenbeispiele (Nicht-Wohlordnungen)

• Ganze Zahlen mit ≤: Die Menge der negativen ganzen Zahlen hat kein kleinstes Element.
• Reelle Zahlen mit ≤: Das offene Intervall (0,1) hat kein kleinstes Element.
• Rationale Zahlen mit ≤: Ähnliches Problem wie reelle Zahlen.

Zusammenhang mit der totalen Ordnung

Jede Wohlordnung ist auch eine totale Ordnung, aber nicht jede totale Ordnung ist eine Wohlordnung. Der Unterschied ist, dass in Wohlordnungen jeder Untersatz ein minimales Element hat. Diese Eigenschaft macht die Wohlordnung zu einer stärkeren Bedingung als die totale Ordnung.

Zusammenfassung

Die Wohlordnung ist einer der stärksten Ordnungsarten. Sie gibt nicht nur eine lineare Sequenz für die Elemente des Satzes, sondern stellt auch sicher, dass jeder Untersatz ein kleinstes Element hat. Dieses Konzept ist Schlüssel in vielen Bereichen der Mathematik, wie Zahlentheorie und Mengenlehre.

Übungsaufgabe