Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt enthält alle möglichen geordneten Paare aus zwei Mengen. Wenn die Mengen A und B gegeben sind, dann ist A × B wie folgt definiert:

Das erste Element kommt immer aus der Menge A, das zweite aus der Menge B. Wichtig ist, dass (a,b) und (b,a) im Allgemeinen nicht dasselbe sind.

Einfaches Beispiel

Sei A = {1,2} und B = {x,y,z}. Dann sind alle Paarungen von A × B:

Es ist sichtbar, dass jedes Element in A mit jedem Element in B gepaart wird.

Kartesisches Produkt mehrerer Mengen

Das kartesische Produkt ist nicht nur für zwei Mengen definiert. Es kann auch für drei oder mehr Mengen gebildet werden, was geordnete Tripel, Quadrupel usw. ergibt.

Zusammenhang mit Relationen

Eine Relation ist immer eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × B. Daher muss das Konzept des kartesischen Produkts zuerst geklärt werden, um Relationen zu verstehen.

Alltägliche Beispiele

• Wenn A = {"rot", "blau"} und B = {"Auto", "Fahrrad"}, dann enthält A × B alle möglichen Paarungen zwischen Farben und Fahrzeugen.
• Wenn A = Personen, B = Sportarten, dann enthält A × B alle Paare (Person, Sportart).
• Wenn A = Tage, B = Stunden, dann gibt A × B alle möglichen Zeitplätze für einen vollständigen Stundenplan.

Zusammenfassung

• Das kartesische Produkt enthält alle geordneten Paare aus zwei Mengen.
• (a,b) ≠ (b,a), außer wenn a = b.
• Kartesische Produkte mehrerer Mengen können auch gebildet werden, in Form von geordneten Tripeln, Quadrupeln usw.
• Das Konzept der Relation kann als Teilmenge von A × B interpretiert werden.

Übungsaufgabe