Injektive Relation (Injektive Funktion)

Eine Relation oder Funktion wird injektiv (oder eins-zu-eins) genannt, wenn verschiedene Eingaben immer verschiedenen Ausgaben entsprechen. Das bedeutet, dass es nie vorkommt, dass zwei verschiedene Eingaben mit derselben Ausgabe verbunden sind.

Formale Definition

Anders gesagt: Wenn zwei Elemente mit derselben Ausgabe verbunden wären, wären sie tatsächlich identisch. Dies stellt sicher, dass Ausgaben sich für verschiedene Eingaben nicht 'wiederholen'.

Beispiele für injektive Relationen

• Die Zuordnung f(x) = 2x auf reellen Zahlen: Verschiedene x-Werte entsprechen immer verschiedenen 2x-Werten.
• Die Personalausweisnummern von Menschen: Jeder Mensch hat eine einzigartige Kennung.
• Die Kennzeichen von Autos: Jedes Auto hat ein einzigartiges Kennzeichen.

Gegenbeispiele (Nicht-injektive Relationen)

• Die Zuordnung f(x) = x² auf ganzen Zahlen: f(2) = 4 und f(-2) = 4, also entsprechen zwei verschiedene Eingaben derselben Ausgabe.
• Die Haarfarbe von Menschen: Mehrere Menschen können dieselbe Haarfarbe haben.
• Die Amtssprachen von Ländern: Mehrere Länder können dieselbe Sprache verwenden.

Beziehung zu Funktionen

Injektivität ist eine der möglichen Eigenschaften von Funktionen. Eine Funktion kann injektiv, surjektiv oder bijektiv sein. Injektivität gewährleistet die 'Einzigartigkeit'-Richtung: Jede verschiedene Eingabe geht zu einer verschiedenen Ausgabe.

Zusammenfassung

Das Wesen einer injektiven Relation oder Funktion ist, dass es keine zwei verschiedenen Eingaben gibt, die zu derselben Ausgabe führen. Diese eins-zu-eins-Zuordnung ist in vielen mathematischen und informatischen Bereichen entscheidend.

Übungsaufgabe