Inverse Relation (Konverse)

Die Inverse einer Relation (auf Englisch: converse oder inverse relation) nennen wir diejenige, bei der wir jedes geordnete Paar der Relation umkehren. Wenn (a,b) ∈ R, dann (b,a) ∈ R⁻¹.

Formale Definition

Die inverse Relation kehrt somit jede Verbindung um. Zum Beispiel, wenn in der 'A ist Freund von B'-Relation (A,B) enthalten ist, dann ist in der Inverse (B,A) enthalten.

Beispiele für Inverse Relationen

• Wenn R die "<"-Relation auf ganzen Zahlen ist, dann ist R⁻¹ die ">"-Relation.
• Wenn R die "Eltern von"-Relation unter Menschen ist, dann ist R⁻¹ die "Kind von"-Relation.
• Wenn R die "Lehrer von"-Relation zwischen Schülern und Lehrern ist, dann ist R⁻¹ die "Schüler von"-Relation.

Eigenschaften

• Die Inverse der inversen Relation ist immer die ursprüngliche Relation: (R⁻¹)⁻¹ = R.
• Wenn eine Relation symmetrisch ist, stimmt sie mit ihrer eigenen Inverse überein.
• Wenn eine Relation transitiv ist, ist ihre Inverse auch transitiv.
• Die Inverse gibt oft eine andere Bedeutung den Verbindungen (z.B. Eltern von ↔ Kind von).

Gegenbeispiele und Missverständnisse

Es ist wichtig, zwischen der Inverse einer Relation und dem Komplement einer Relation zu unterscheiden. Die Inverse tauscht einfach die Reihenfolge der Paare aus, während das Komplement alle Paare enthält, die nicht in der ursprünglichen Relation sind.

Zusammenfassung

Die Inverse einer Relation kehrt die Richtung aller Verbindungen um. Dies ist besonders wichtig in Mathematik und Informatik, wo Verbindungen oft als gerichtete Kanten in Graphen erscheinen. Inverse Relationen helfen, die Symmetrie und Orientierung der Verbindungen zu verstehen.

Übungsaufgabe