Transitive Relation

Eine Relation ist transitiv, wenn für beliebige drei Elemente gilt: Wenn (a,b) und (b,c) in der Relation sind, dann ist auch (a,c) darin.

Mit anderen Worten: Wenn die Verbindung zwischen dem Ersten und Zweiten sowie dem Zweiten und Dritten besteht, muss sie auch zwischen dem Ersten und Dritten bestehen.

Beispiele für transitive Relationen

• Die ≤-Relation ist transitiv: Wenn 2 ≤ 4 und 4 ≤ 6, dann 2 ≤ 6.
• Die =-Relation ist auch transitiv: Wenn a = b und b = c, dann gilt a = c.
• Die Teilbarkeitsrelation ist transitiv: Wenn 2 4 teilt und 4 8 teilt, dann teilt 2 8.

Gegenbeispiele (Nicht-transitive Relationen)

• Die Geschwister-Relation ist nicht transitiv: Wenn Anna Geschwister von Béla und Béla von Csaba ist, ist Anna nicht unbedingt Geschwister von Csaba.
• Die Freundschafts-Relation ist auch nicht transitiv: Wenn Anna Freund von Béla und Béla Freund von Csaba ist, bedeutet das nicht, dass Anna Freund von Csaba ist.

Zusammenfassung

Transitivität stellt sicher, dass die Verbindung von einem Element auf ein anderes über Zwischenpersonen übertragen werden kann. Deshalb sind transitive Relationen sehr wichtig bei der Definition von Ordnungen und mathematischen Strukturen.

Übungsaufgabe