Bijektive Relation (Bijektive Abbildung)

Eine Relation oder Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv zugleich ist. Das bedeutet, dass jedem Eingang genau ein Ausgang zugeordnet ist und jedem Ausgang genau ein Eingang zugeordnet wird.

Formale Definition

Sei f: A → B eine Abbildung. f ist bijektiv, wenn:

• Injektiv: ∀a₁,a₂ ∈ A, f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂.
• Surjektiv: ∀b ∈ B, ∃a ∈ A: f(a) = b.

Mit anderen Worten: Die Funktion stellt eine ein-eindeutige und vollständige Überdeckung zwischen den beiden Mengen dar.

Beispiele für bijektive Relationen

• Die Funktion f(x) = x + 1 auf ganzen Zahlen: Jede ganze Zahl entspricht genau einer anderen ganzen Zahl, und jede ganze Zahl ist erreichbar.
• Die Zuordnung von Personen zu Personalausweisnummern: Jede Person hat eine eindeutige Nummer, und jede Nummer entspricht genau einer Person.
• Die ein-eindeutige Zuordnung zwischen den Buchstaben des englischen Alphabets und den ersten 26 Buchstaben des ungarischen Alphabets.

Gegenbeispiele (nicht bijektive Relationen)

• Die Funktion f(x) = x² auf reellen Zahlen: Nicht injektiv, da f(2) = f(-2).
• Die Relation zwischen Ländern und Städten: Nicht surjektiv, da viele Städte keine Hauptstädte sind.
• Die Relation zwischen Personen und Haarfarbe: Nicht injektiv, da mehrere Personen dieselbe Haarfarbe haben können.

Zusammenhang mit der ein-eindeutigen Zuordnung

Eine Bijektion wird auch als ein-eindeutige Zuordnung bezeichnet. Dies ist in der Mathematik entscheidend, da es ermöglicht, Elemente zweier Mengen paarweise zuzuordnen und so festzustellen, dass sie dieselbe Anzahl von Elementen haben. Bijektive Funktionen bilden auch die Grundlage für Isomorphismen zwischen verschiedenen Strukturen.

Zusammenfassung

Das Wesen einer bijektiven Relation ist, dass jedem Eingang genau ein Ausgang entspricht und jedem Ausgang genau ein Eingang zugeordnet wird. Diese ein-eindeutige und vollständige Abbildung ist ein äußerst wichtiges Konzept sowohl in der Mathematik als auch in der Informatik.

Übungsaufgabe