Relationenkomplement

Das Komplement einer Relation enthält alle geordneten Paare, die nicht in der ursprünglichen Relation vorkommen, aber im kartesischen Produkt des untersuchten Satzes sind. Das Komplement gibt somit das 'Gegenteil' der ursprünglichen Relation.

Formale Definition

Wenn A eine Menge ist und R eine Relation auf A, dann enthält das Komplement von R jedes (a,b)-Paar, das in A × A ist, aber nicht in R.

Beispiele für Relationenkomplemente

Sei A = {1,2,3}, und R = { (1,1), (2,2), (3,3) } (die Gleichheitsrelation).

Dann A × A = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) }.

Also R^c = { (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2) }.

• Wenn R = "≤" auf ganzen Zahlen, dann ist das Komplement von R die ">"-Relation.
• Wenn R = "teilt" auf natürlichen Zahlen, dann ist das Komplement "teilt nicht".
• Wenn R = "Freund von" unter Menschen, dann ist das Komplement die "nicht Freund von"-Relation.

Eigenschaften

• Das Komplement zweimal zu nehmen gibt die ursprüngliche Relation zurück: (R^c)^c = R.
• Vereinigung und Schnitt hängen mit dem Komplement zusammen (De-Morgan-Regeln): (R ∪ S)^c = R^c ∩ S^c, (R ∩ S)^c = R^c ∪ S^c.
• Das Komplement drückt oft die gegenteilige Eigenschaft im Vergleich zur ursprünglichen Relation aus (z.B. Freund von ↔ nicht Freund von).

Zusammenfassung

Das Komplement einer Relation enthält jedes Paar nicht in der Originalen, aber im vollständigen kartesischen Produkt. Dies ist ein nützliches Werkzeug in der Mathematik, da es die Untersuchung des Gegenteils von Relationen ermöglicht und bei logischen Operationen hilft.

Übungsaufgabe