Eigenschaften von Relationen

Wir können Relationen anhand verschiedener Eigenschaften klassifizieren. Diese helfen uns zu verstehen, wie sich die Relation verhält und zu welcher Art mathematischer Struktur sie gehört.

Reflexive Relation

Eine Relation ist reflexiv, wenn jedes Element mit sich selbst in Relation steht.

Mit anderen Worten: Jedes Element schließt sich selbst ein, also sind z.B. (1,1), (2,2), (3,3) immer in der Relation.

Beispiel: Die "≤"-Relation ist reflexiv, weil jede Zahl kleiner oder gleich sich selbst ist.

Gegenbeispiel: Die "<"-Relation ist nicht reflexiv, weil keine Zahl kleiner als sie selbst ist.

Symmetrische Relation

Eine Relation ist symmetrisch, wenn immer, wenn a mit b in Relation steht, b mit a in Relation steht.

Mit anderen Worten: Verbindungen sind bidirektional; wenn (a,b) in der Relation ist, ist auch (b,a) darin.

Beispiel: Die "Geschwister von"-Relation ist symmetrisch: Wenn Anna Geschwister von Béla ist, dann ist Béla Geschwister von Anna.

Gegenbeispiel: Die "Eltern von"-Relation ist nicht symmetrisch: Wenn Anna Elternteil von Béla ist, ist Béla nicht Elternteil von Anna.

Antisymmetrische Relation

Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn immer, wenn a mit b und b mit a in Relation steht, dann a = b.

Mit anderen Worten: Bidirektionale Verbindungen können nur zwischen identischen Elementen vorkommen.

Beispiel: Die "≤"-Relation ist antisymmetrisch: Wenn a ≤ b und b ≤ a, dann a = b.

Gegenbeispiel: Die "Freund von"-Relation ist nicht antisymmetrisch: Wenn A Freund von B und B von A ist, sind sie immer noch unterschiedliche Personen.

Asymmetrische Relation

Eine Relation ist asymmetrisch, wenn immer, wenn a mit b in Relation steht, b nicht mit a in Relation steht.

Mit anderen Worten: Es gibt gar keine bidirektionalen Verbindungen, nicht einmal zwischen identischen Elementen (strenge Asymmetrie schließt Selbstschleifen aus).

Beispiel: Die "<"-Relation ist asymmetrisch: Wenn a < b, dann ist b < a falsch.

Gegenbeispiel: Die "≤"-Relation ist nicht asymmetrisch, weil wenn a = b, dann (a,b) und (b,a) beide gelten.

Transitive Relation

Eine Relation ist transitiv, wenn immer, wenn a mit b und b mit c in Relation steht, dann a mit c in Relation steht.

Mit anderen Worten: Verbindungen 'verkettet': Wenn es einen Pfad der Länge 2 gibt, gibt es eine direkte Verbindung.

Beispiel: Die "≤"-Relation ist transitiv: Wenn a ≤ b und b ≤ c, dann a ≤ c.

Gegenbeispiel: Die "Eltern von"-Relation ist nicht immer transitiv (Großelternfälle variieren).

Totale Relation

Eine Relation ist total, wenn jedes Paar von Elementen vergleichbar ist: Für beliebige a, b ist entweder (a,b) oder (b,a) in der Relation.

Mit anderen Worten: Zwischen beliebigen zwei Elementen steht eines mit dem anderen in Relation.

Beispiel: Die "≤"-Relation auf ganzen Zahlen ist total, weil für beliebige zwei Zahlen eine kleiner oder gleich der anderen ist.

Gegenbeispiel: Die Teilbarkeitsrelation ist nicht total, weil z.B. 2 und 3, keines teilt das andere.

Zusammenfassung

• Reflexiv: Jedes Element steht in Relation zu sich selbst.
• Symmetrisch: Wenn (a,b) ∈ R, dann (b,a) ∈ R.
• Antisymmetrisch: Wenn (a,b) und (b,a) ∈ R, dann nur wenn a = b.
• Asymmetrisch: Wenn (a,b) ∈ R, dann (b,a) definitiv nicht.
• Transitiv: Wenn (a,b) und (b,c) ∈ R, dann (a,c) ∈ R.
• Total: Jedes zwei Elemente sind vergleichbar.